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出題者: 学習院大学 4 年
楳本氏
今週の (?) クイズ
設定
実数 \(x\) について、
\begin{align}
T_1(x) &= x^x \\
T_n(x) &= x^{T_{n-1}(x)}
\end{align}
と定義されたものを \(x\) のテトレーション (tetration)、または超冪といいます。書いて見ると、\(x\) の上に更にいくつもの \(x\) がどんどんと「肩上げ」されているのが分かります。気をつけるべきなのは、この演算は常に「右上」が優先されることです。
\begin{equation}
T_2(3)=3^{3^3}=3^{27}=7,625,597,484,987
\end{equation}
であり、
\begin{equation}
T_2(3)=3^{3^3}=27^3=19,683
\end{equation}
とはならない事に注意しましょう。
さて、このテトレーションについて2つの問題を用意しましたので、考えてみてください。
問題 1
\(\displaystyle T({\sqrt{2}})=\lim_{n \to \infty} T_n(\sqrt{2})\) は収束するか発散するかを示し、収束するならばその値を求めてください。
(ヒント：\(T=T({\sqrt{2}})\)とすると、この \(T\) は \(T=\sqrt{2}^T\) の根になります。)
問題 2
\(\displaystyle T({\sqrt{3}})=\lim_{n \to \infty} T_n(\sqrt{3})\) は発散することを示してください。
(さらに、テトレーション (\(n→\infty\))はある実数 \(\alpha\) について、\(\alpha < x\) の場合に発散することを示すことが出来ます。)