2014/04/09
出題者: 学習院大学 高橋

Quiz #01

第 1 回目の問題はちょっとだけ難し目、学部 2 年生以上が解ける問題になっています。授業を習っているうちに、1 年生もどこかのタイミングで解けるようになるので、気長に待つのもいいかと思います。

以下のハートの面積を求めよ。

世の中には Heart Curve と呼ばれる素敵な方程式 が存在します。私がネット上で見つけた、式が簡単で、かつ美しい Heart Curve は次の式で与えられます。

\begin{gather} \vec{r} (t) = (16 \sin^3 t, 13 \cos t - 5 \cos 2 t - 2 \cos 3 t - \cos 4 t), \\ t: 0 \rightarrow 2 \pi. \end{gather} これは、つまり、\(t\) を \(0\) から \(2\pi\) まで動かしたときに、\(\vec{r} (t)\) はハートを描く位置ベクトルとなるということを言っています。

順番にステップバイステップで考えていきましょう。

第 1 問

この経路でハートを描くと、ハートはどちら回りに描かれるか?

第 2 問

この経路を逆向きに進む位置ベクトル \(\vec{r} (t)\) はどの様に表されるか? ただし、\(t: 0 \rightarrow 2\pi\)。

第 3 問

この経路の各点での接線ベクトルはどう表されるか?

第 4 問

このハートの面積を求めたい。経路の接線ベクトルが分かっているので、面積分と線積分を繋ぎ合わせる「あの公式」を用いて求められそうだ。実際に求めてみよ！