2015/02/24
出題者: 学習院大学 2 年 木村氏

Quiz #10

問題

レオンハルト・オイラーが遺した数式の中の 1 つに以下のような式がある。 $$\begin{equation} 1+2+3+ \dots =-\frac{1}{12} \end{equation}$$ 正の数を足していくとどういうわけか負の数になってしまうというのである。いかにも驚異的で摩訶不思議な式ではないか!
また、この式は、(以前にも Quiz #5 で扱った) リーマンのゼータ関数 $$\begin{equation} \zeta(s)=1+\frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} +\cdots \end{equation}$$ を用いて $$\begin{equation} \zeta(-1)=-\frac{1}{12} \end{equation}$$ と表せる。

第 1 問

関数 $f(s)$を $$\begin{equation} f(s)=1-\frac{1}{2^s} +\frac{1}{3^s} - \cdots \end{equation}$$ と定義する。$\zeta(s)$ を $s$ と $f(s)$ を用いて表せ。 ヒント

第 2 問

$$\begin{equation} \frac{ｘ}{(1-x)^2} \end{equation}$$ を $x$ のべき級数で展開せよ注意。$x = -1$ のときどのような等式が成り立つか?

第 3 問

以上の結果を用いて $$\begin{equation} \zeta(-1) = - \frac{1}{12} \end{equation}$$ を示せ。

第 4 問

しかし、以上の証明には問題点がある。何処に問題点があるか考察せよ。

実は、以上の式は、以前 Quiz #3 で扱った $\zeta(2) = \pi^2⁄6$ と解析接続という概念を用いて結び付けられます。興味があったら、調べてみてください。