2015/03/02
出題者: 東京大学 4 年 濱崎氏

Quiz #11

以下の問題は 濱崎さん から提案していただきました。

問題

線分 \(AB\) とその中点 \(M\) があるとする。 この線分 \(AB\) を \(n ~(=3,4,\dots)\) 等分する点を、目盛りのない定規のみを用いて作図せよ。
ここで、目盛りのない定規とは、ただの直線を引くための棒だと考える。つまり、印をつけてコンパスのように使うことは許されない。

まずは直接解答を試みて欲しい。難しいようなら、以下の問題を解きつつ答えにたどり着いて欲しい。

問題 1

まずは、エクササイズとして、以下の問題に挑戦しよう。
正方形の辺の中点を同様に目盛りのない定規のみを用いて作図せよ。ただし、補助線の数は一番少なくて 5 本である。

まずは次の図形を用いてチェバの定理 \begin{equation} \frac{AD}{DB}\frac{BE}{EC}\frac{CF}{FA} = 1 \end{equation} を導け。

問題 2

元の問題に戻る。線分 \(AB\) を 4 等分する点を作図せよ。

まず、線分 \(AB\) に平行な線を作図せよ。

問題 3

線分 \(AB\) を 3 等分する点を作図せよ。

問題 4

線分 \(AB\) を \(n\) 等分する方法を示せ。