2014/04/30
出題者: 学習院大学 3 年 小野氏

Quiz #03

第 3 回はバーゼル問題です。ご存知の方も多いとは思いますが、学部 1 年生ではまだ知らない人もいると思います。

どのような問題かというと、

\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \) を示せ

というものです。いきなりこれだけ与えられても全く分からないと思うので、今回は誘導形式でこの問題を解いていきます。

第 1 問

\(\sin x\) をマクローリン展開 (テイラー展開) せよ。そして、\(\displaystyle\frac{\sin x}{x}\) のマクローリン展開を求めよ。

第 2 問

\(\displaystyle\frac{\sin x}{x} = \prod_{n=1}^\infty \left ( 1 - \left ( \frac{x}{n \pi} \right)^2 \right)\) という変形式がある。これを使ってバーゼル問題を証明せよ。 ここで、\(\displaystyle\prod_{n=1}^\infty f_n (x) = f_1(x) ~f_2(x) ~f_3(x) \cdots\) である。

あとがき

以上でクイズを終わります。この解法はオイラーにより発見されました。ほかにもこの問題はフーリエ変換を使った解法等もあります（おそらく大学の授業ではフーリエ変換を使い証明するところが多いと思います）。

いくつかの補足をします。問題 1 についてですが、\(\sin ⁡x\) をマクローリン展開して出た式は、\(x\) が零付近以外のところでも成り立ちます。もっと言えば、この式は \(x\) のとる範囲が全実数で成り立つのです。同じことが \(\cos ⁡x\)、\(e^x\) でも成り立ちます。これは、\(e^x\) の定義式がこの式を展開した形であることに由来します。

問題 2 について、天下り的に \(\displaystyle\frac{\sin x}{x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \left ( \frac{x}{n\pi} \right )^2\right)\) という式を与えましたがこの証明は学部 1 年生レベルを超えるので、気になる人は「三角関数の無限乗積展開」で検索してみてください。