2014/05/06
出題者: 東京大学 准教授 桂氏

Quiz #04

以下の問題は桂さんから提案をいただきました。

問題

半径 1 の円に内接する多角形を考える。この頂点を一つ選び、そこから他の頂点全てに線分 ("対角線") を引く。正 n 角形であれば、(n-1) 本の線が引ける。このとき、これら全ての線の長さの積は n になることを示せ。

実際見た方が分かりやすいので、次の図を見てください。

図には黒色で半径 1 の円、赤色で正多角形、そこに青色で上で指定した線分が引いてあります。

正三角形の場合を計算してみると、"対角線" と辺は一致していて、その長さは $\sqrt{3}$ なので、 $$\begin{equation} \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3 \end{equation}$$ となり正しい。

以下で、順を追って上記の問題を解いていこう。

問題 1

まずは、問題の主張することが本当に正しそうか、具体例で試してみよう。正方形、正五角形、正六角形について、正しいことを確かめよ。ヒント: 辺の長さは例えば余弦定理を使えば簡単に出せますね。

問題 2

ところで、図の $x$ 軸を実軸、$y$ 軸を虚軸として図形を見直すと、各頂点は複素数でどう表されるか。 ヒント: 複素平面上の原点を中心とする半径 1 の円は $z = e^{i \theta} ~(0 \le \theta < 2\pi)$ と表せますね。

問題 3

続いて、青色の線分はどう表されるか。また、青色の線分の長さの積はどう表されるか。

問題 4

あえて回り道をしよう。 $z_k = \exp (2 \pi i k / n) ~(k = 1, 2, \dots, n-1)$ とする。 $z \ne 1$ のとき、 次の式が成り立つことを確かめよ。 $$\begin{equation} \frac{z^n - 1}{z-1} = (z - z_1) (z - z_2) \cdots (z - z_{n-1}) = \prod_{k=1}^{n-1} (z - z_k). \end{equation}$$

問題 5

さらに、 $z \ne 1$ として 以下の等式が成り立つことを確かめよ。 $$\begin{equation} \frac{z^n - 1}{z-1} = 1 + z + z^2 + \cdots + z^{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} z^k. \end{equation}$$

問題 6

準備は整った。以上を用いて最初の問題を証明せよ。 ヒント: 途中で $z \rightarrow 1$ の極限を用いる。

(※ 図を描くのに用いたスクリプトはLinux のページに置いてあります。参考までにどうぞ。)