2014/06/10
出題者: 学習院大学 楳本氏

Quiz #05

$\zeta (2)$ の値を求める。

$$\begin{equation} \zeta (s) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^s} \end{equation}$$ で定義されるリーマンのゼータ関数について、$\zeta (2)$ の値を求める方法はいくつかある様です。$\sin$ 関数の因数分解を利用した方法は前に問題として出題しました。今回は違ったアプローチで $\zeta (2)$ の値を求めてみようと思います。

級数に展開した $\zeta (2)$ の第 $k$ 項に $x^k$ をかけた関数 $$\begin{equation} f(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} x^k \end{equation}$$ を定義します。明らかに、 $$\begin{equation} f(1) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} = \zeta (2) \end{equation}$$ です。

問題 1

$$\begin{equation} \frac{d}{dx} f(x) = g(x) \end{equation}$$ となる $g(x)$ を求めてください。ただし、$g(x)$ は $x$ について閉じた式 (無限和ではない形) とします。

ヒント: $\log$ の冪級数展開を考えてみてください。

問題 2

あとは、この右辺を積分し、$x=1$ の場合を考えることができれば $\zeta(2)$ の値を得ることができそうなのですが、 実際にこの積分を実行することは簡単ではありません。なので、このような $f(x)$ についてもう少し探りを入れてみようと思います。実はこの $f(x)$ は複素数にまで拡張することができ、より一般の形として $$\begin{equation} \textrm{Li}_s (z) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^s} z^k \end{equation}$$ という多重対数関数 (polylogarithm) が知られています。今回扱うのは $$\begin{equation} \textrm{Li}_2 (z) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} z^k \end{equation}$$ で、二重対数関数 (dilogarithm) と言います。

$\textrm{Li}_2 (-1)$と $\zeta(2)$ の関係式を求めてください。

ヒント: $\textrm{Li}_2 (1)$ と $\textrm{Li}_2 (-1)$ の無限和を実際に書いてみるといいです。

問題 3

第二種の Euler の反転公式 $$\begin{equation} \textrm{Li}_2 (z) - \left \{ \textrm{Li}_1 (z) - \textrm{Li}_1 \left (\frac{1}{z} \right ) \right \} \log z - \frac{1}{2} \log^2 z + \textrm{Li}_2 \left (\frac{1}{z} \right ) = 2 \zeta(2) \end{equation}$$ を利用して $\zeta(2)$ の値を求めてください。ただし、 $$\begin{equation} \log (-1) = i \pi \end{equation}$$ とします。