2014/06/26
出題者: 学習院大学 高橋

Quiz #07

以下の問題は、桂さんからアイディアをいただきました。

以下のガウス積分を拡張した公式を導け。

$$\begin{equation} I (a, b) := \int_{-\infty}^\infty dx ~e^{-\left(ax^2+\frac{b}{x^2}\right)} = \sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{-2 \sqrt{ab}}. \end{equation}$$ ただし、以下では、積分と微分の入れ替えは可能とする。

問題 1

変数変換して、以下の式変形を行え。 $$\begin{equation} I (a,b) := \frac{1}{\sqrt{a}} e^{-2 \sqrt{ab}} \int_{-\infty}^\infty dx ~e^{-\left(x - \frac{ab}{x}\right)^2}. \end{equation}$$

問題 2

ここで、以下の関数を定義して、積分部分の性質を調べる。 $$\begin{equation} K (a) := \int_{-\infty}^\infty dx ~e^{-\left(x - \frac{a}{x}\right)^2}. \end{equation}$$ $x \rightarrow a/x$ という変数変換を行い、$K (a)$ が以下で表せることを示せ。 $$\begin{equation} K (a) = \int_{-\infty}^\infty dx ~\frac{a}{x^2} e^{-\left ( x - \frac{a}{x} \right)^2}. \end{equation}$$ 以上より、 $$\begin{equation} \int_{-\infty}^\infty dx ~ \left ( 1 - \frac{a}{x^2} \right) e^{-\left (x - \frac{a}{x}\right )^2} = 0 \end{equation}$$ が分かる。

問題 3

ところで、$K (a)$ を $a$ で微分せよ。そして前問の結果を用い、 $$\begin{equation} \frac{d}{da} K (a) = 0 \end{equation}$$ を導け。

問題 4

これより、$K (a)$ は $a$ に依らない関数だということが分かる。よって、$K (a)$ は任意の $a$ で計算すれば良いので、$a = 0$ のときの $K (0)$ を用いて $K (a)$ の値を求めよ。

問題 5

以上の結果を用いて、 $$\begin{equation} I (a, b) := \int_{-\infty}^\infty dx ~e^{-\left(ax^2+\frac{b}{x^2}\right)} = \sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{-2 \sqrt{ab}} \end{equation}$$ を導け。