2014/08/04
出題者: 学習院大学 高橋
Quiz #08
解けるまでに 360 年もかかった、フェルマーの最終定理 (フェルマー・ワイルズの定理) という有名な定理があります。それは、
\(3\) 以上の自然数 \(n\) について、\(x^n + y^n = z^n\) となる \(0\) でない自然数 \((x, y, z)\) の組が存在しない
というものです。
これを行列バージョンに拡張して考えよう、という記事がありましたので、問題風にアレンジして紹介します。面白いので、ぜひフォローしてみてください。一年生は行列 (線形代数) を後期から習うのでちょうどいいですね (逆行列等習っていないかもしれないので、その場合は習うまでのお楽しみ。または自主勉強！)。
問題の出典元は、
東京出版の「大学への数学」 1999 年 10 月号、数学
鼎談、矢ヶ部巌
です。数学鼎談には面白い記事がたくさんあって関心します。
問題
零行列でない \(2 \times 2\) の正方行列 \(A, B, C\) について、フェルマー・ワイルズの定理と同様の式 (以下、F 式と呼ぶ) \begin{equation} A^n + B^n = C^n \end{equation} を満たす \((A,B,C)\) が存在するか調べよ。
以下いつものように step by step で小問を解きながら進みます。
問題 1
実は任意の \(n\) で成り立つ例がすぐに見つかる。以下の行列の \(n\) 乗を計算し、それをヒントに、F 式を成り立たせる行列の組を見つけよ。 \begin{equation} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{equation}
この安直な解を排除するために、以下では、行列および、その逆行列の成分が全て整数のものについて F 式を考えることにする。
問題 2
逆行列が整数となる条件は何か求めよ。(ヒント: 余因子行列を用いて逆行列を書いてみるとよい。) この条件を満たす行列を用いて F 式が成り立つ行列の組があるかどうか見ていこう。
問題 3
ここからは、問題を分岐して考えていく。まずは、\(n\) が奇数のときを考えよう。\(2\) 乗して単位行列になる \(A, B, C\) を考えると、 \begin{equation} A^{2m+1} = A, \quad B^{2m+1} = B, \quad C^{2m+1} = C, \qquad (m = 1, 2, \dots) \end{equation} なので、同時に \begin{equation} A + B = C \end{equation} となる \(A, B, C\) が見つかれば奇数次の F 式は全て満たされることになる。
\(2\) 乗して単位行列になる行列の、成分に関する制限を示せ。
問題 4
これまでの結果より、奇数次のときに F 式を成立させる行列 \(A, B, C\) の組を求めよ。(ヒント: 問題 2 および 3 の条件を考慮して具体的にいくつか書き出して、\(A + B = C\) となる \(A, B, C\) を探す。)
問題 5
奇数次の場合は存在が示されたので、偶数次の場合を考えていく。 まず、 \begin{equation} M^2 = M \end{equation} となる \(M\) は単位行列しか無いことを示し、奇数次のときに用いた方法ではうまくいかないことを確かめよ。
問題 6
次に奇数次のときの解を一つ見ると、
まず、\(\displaystyle P := \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) は \(P^{-1} = P\) であり、また、任意の行列について、左から掛ければ行を入れ替え、右から掛ければ列を入れ替える演算子であることを確かめよ。 そして、\(n = 1\) の場合を考えて、以下の式を得よ。 \begin{equation} E = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. \end{equation} ただし、\(E\) は単位行列である。
問題 7
次に、 \begin{equation} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = - E \end{equation} を確かめよ。
問題 8
問題 6 の両辺を 2 乗して、 \begin{equation} -E = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}^2 + \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}^2 \end{equation} を得よ。
問題 9
\(2\) 乗して \(-E\) となる行列 \(Z\) を求めよ。 これで、\(2\) 次の場合の解が得られた。
次は偶数次の高次の場合を考えていく。
問題 10
2 次の場合の解から高次の偶数次の解が無いか調べよう。 前問の解を見通しが良いように、 \begin{equation} X^2 + Y^2 = Z^2 \end{equation} とおこう。ここで、\(X, Y, Z\) は
これら \(X, Y, Z\) をそれぞれ偶数乗してその性質を調べ、次の表を埋めよ (できるだけ \(2\) 乗の形で表すと見通しが良い)。今後のために \(n = 2 m\) とする \(m\) を導入する。
| \(m\) | \(n\) | \(X\) | \(Y\) | \(Z\) | F 式 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(1\) | \(2\) | \(X^2\) | \(Y^2\) | \(Z^2\) | 満たす |
| \(2\) | \(4\) | ||||
| \(3\) | \(6\) | ||||
| \(4\) | \(8\) | ||||
| \(5\) | \(10\) | ||||
| \(6\) | \(12\) | ||||
| \(7\) | \(14\) |
問題 11
\(\alpha^n = \alpha^{2m}\quad(\alpha = X, Y, Z)\) の周期性より、前問で解がある場合と無い場合の \(n\) または \(m\) の条件を求めよ。
問題 12
解が求まらなかった場合の \(n\) または、\(m\) について考えていこう。
やみくもに解を探しても、解が無い可能性があるので、ここで視点を変える。 対角成分の和であるトレース \(\mathrm{Tr} [ A ] = \sum_{k = 1}^2 a_{k,k} = a_{1,1} + a_{2,2}\) の性質に着目する。
\(X^n + Y^n = Z^n\) が成り立っているとすると、両辺のトレースも等しいはずなので、 \begin{equation} \mathrm{Tr} [ X^n + Y^n ] = \mathrm{Tr} [ Z^n ]. \end{equation}
左辺について考えるために、任意の行列 \(A, B\) について、 \begin{equation} \mathrm{Tr} [ A + B ] = \mathrm{Tr} [ A ] + \mathrm{Tr} [ B ] \end{equation} を示せ。 よって、 \begin{equation} \mathrm{Tr} [X^n] + \mathrm{Tr} [Y^n] = \mathrm{Tr} [Z^n] \end{equation} が成り立たなければならない。
問題 13
以上をふまえて、\(n = 4\) の場合を考えていく。 \(4\) 乗は \(2\) 乗の \(2\) 乗なので、まずは \(2\) 乗について考えていく。 \begin{equation} \mathrm{Tr} [ A^2 ] = \mathrm{Tr} [ A ]^2 - 2 \mathrm{det} [ A ] \end{equation} を導け。ここで、\(2 \times 2\) 行列の行列式 \(\mathrm{det} [ A ] = a_{1,1} a_{2,2} - a_{1,2} a_{2,1} \) を用いた。
問題 14
前問の結果を用いて、 \begin{equation} \mathrm{Tr} [ A^4 ] = \mathrm{Tr} [ A ]^4 - 4 \mathrm{Tr} [ A ]^2 \mathrm{det} [ A ] + 2 \mathrm{det} [ A ]^2 \end{equation} を導け。
ここで、問題 2 の結果より、\(\mathrm{det} [ A ] = \pm 1\) という制限があるので、上の式は、 \begin{equation} \mathrm{Tr} [ A^4 ] = \mathrm{Tr} [ A ]^4 \pm 4 \mathrm{Tr} [ A ] + 2 \end{equation} となり、\(A\) はこの式を満たさなければならない。
次回以降は、F 式のトレースに関する制限と、上記各行列のトレースに関する制限を同時に満たす行列があるかどうか見ていく。
問題 15
\(\mathrm{Tr} [A]\) を偶数と奇数に分けて考えよう。
\(\mathrm{Tr} [A]\) が偶数のとき
\begin{equation}
\mathrm{Tr} [A^4] = (8 \text{の倍数}) + 2
\end{equation}
となることを示せ。
同様に \(\mathrm{Tr} [A]\) が奇数のとき
\begin{equation}
\mathrm{Tr} [A^4] = (8 \text{の倍数}) + 7
\end{equation}
となることを示せ。
(ヒント: 奇数の方は、\(-4 = -8 + 4 = (8 \text{の倍数}) + 4\) と考える。)
問題 16
元に戻って、
\begin{equation}
\mathrm{Tr} [X^4] + \mathrm{Tr} [Y^4] = \mathrm{Tr} [Z^4]
\end{equation}
を満たす \(X, Y, Z\) があるか考える。
両辺を \(8\) で割って、余りを比べ、解が無いことを説明せよ。
(ヒント: 左辺と右辺が取りうる余りを書き出して比較する。)
以上より、\(n = 4\) のとき、F 式に解が無いことが分かった。よって、当然 \(n\) が \(4\) の倍数のときにも解は無い。
問題 17
問題 11 の答えをおさらいすると、
よって、次は \(n = 6\) について考える。
\(n = 4\) のときと同様に考える。まずは、
\begin{equation}
\mathrm{Tr} [A^3] = \mathrm{Tr} [A]^3 - 3 \mathrm{det} [A] \mathrm{Tr} [A]
\end{equation}
を導け。
そして、これを用いて、
\begin{equation}
\mathrm{Tr} [A^6] = \mathrm{Tr} [A]^6 - 6 \mathrm{det} [A] \mathrm{Tr} [A]^4 + 9 \mathrm{det} [A]^2 \mathrm{Tr} [A]^2 - 2 \mathrm{det} [A]^3
\end{equation}
を得よ。
よって、\(\mathrm{det} [A] = \pm 1\) を考えて、
\begin{equation}
\mathrm{Tr} [A^6] = \mathrm{Tr} [A]^6 \pm 6 \mathrm{Tr} [A]^4 + 9 \mathrm{Tr} [A]^2 \pm 2
\end{equation}
を得よ。
問題 18
\(\mathrm{Tr} [A]\) が偶数のとき、 \begin{equation} \mathrm{Tr} [A^6] = (4 \text{の倍数}) + 2, \end{equation} および、\(\mathrm{Tr} [A]\) が奇数のとき、 \begin{equation} \mathrm{Tr} [A^6] = (4 \text{の倍数}) + 1 \end{equation} となることを示せ。
問題 19
よって、元の式について、\(n = 6\) のとき、両辺を \(4\) で割って余りを比較すると、解が無いことを説明せよ。 これより、\(n\) が \(6\) の倍数のときには解が無いことが示せ、全ての場合について結論が得られた。
問題 20
全問題を通しての結論をまとめよ。