2014/08/04
出題者: 学習院大学 高橋

Quiz #08

解けるまでに 360 年もかかった、フェルマーの最終定理 (フェルマー・ワイルズの定理) という有名な定理があります。それは、

$3$ 以上の自然数 $n$ について、$x^n + y^n = z^n$ となる $0$ でない自然数 $(x, y, z)$ の組が存在しない

というものです。

これを行列バージョンに拡張して考えよう、という記事がありましたので、問題風にアレンジして紹介します。面白いので、ぜひフォローしてみてください。一年生は行列 (線形代数) を後期から習うのでちょうどいいですね (逆行列等習っていないかもしれないので、その場合は習うまでのお楽しみ。または自主勉強！)。

問題の出典元は、
東京出版の「大学への数学」 1999 年 10 月号、数学 鼎てい談だん、矢ヶ部巌
です。数学鼎談には面白い記事がたくさんあって関心します。

問題

零行列でない $2 \times 2$ の正方行列 $A, B, C$ について、フェルマー・ワイルズの定理と同様の式 (以下、F 式と呼ぶ) $$\begin{equation} A^n + B^n = C^n \end{equation}$$ を満たす $(A,B,C)$ が存在するか調べよ。

以下いつものように step by step で小問を解きながら進みます。

問題 1

実は任意の $n$ で成り立つ例がすぐに見つかる。以下の行列の $n$ 乗を計算し、それをヒントに、F 式を成り立たせる行列の組を見つけよ。 $$\begin{equation} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{equation}$$

この安直な解を排除するために、以下では、行列および、その逆行列の成分が全て整数のものについて F 式を考えることにする。

問題 2

逆行列が整数となる条件は何か求めよ。(ヒント: 余因子行列を用いて逆行列を書いてみるとよい。) この条件を満たす行列を用いて F 式が成り立つ行列の組があるかどうか見ていこう。

問題 3

ここからは、問題を分岐して考えていく。まずは、$n$ が奇数のときを考えよう。$2$ 乗して単位行列になる $A, B, C$ を考えると、 $$\begin{equation} A^{2m+1} = A, \quad B^{2m+1} = B, \quad C^{2m+1} = C, \qquad (m = 1, 2, \dots) \end{equation}$$ なので、同時に $$\begin{equation} A + B = C \end{equation}$$ となる $A, B, C$ が見つかれば奇数次の F 式は全て満たされることになる。

$2$ 乗して単位行列になる行列の、成分に関する制限を示せ。

問題 4

これまでの結果より、奇数次のときに F 式を成立させる行列 $A, B, C$ の組を求めよ。(ヒント: 問題 2 および 3 の条件を考慮して具体的にいくつか書き出して、$A + B = C$ となる $A, B, C$ を探す。)

問題 5

奇数次の場合は存在が示されたので、偶数次の場合を考えていく。 まず、 $$\begin{equation} M^2 = M \end{equation}$$ となる $M$ は単位行列しか無いことを示し、奇数次のときに用いた方法ではうまくいかないことを確かめよ。

問題 6

次に奇数次のときの解を一つ見ると、 奇数次の答え

まず、$\displaystyle P := \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ は $P^{-1} = P$ であり、また、任意の行列について、左から掛ければ行を入れ替え、右から掛ければ列を入れ替える演算子であることを確かめよ。 そして、$n = 1$ の場合を考えて、以下の式を得よ。 $$\begin{equation} E = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. \end{equation}$$ ただし、$E$ は単位行列である。

問題 7

次に、 $$\begin{equation} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = - E \end{equation}$$ を確かめよ。

問題 8

問題 6 の両辺を 2 乗して、 $$\begin{equation} -E = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}^2 + \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}^2 \end{equation}$$ を得よ。

問題 9

$2$ 乗して $-E$ となる行列 $Z$ を求めよ。 これで、$2$ 次の場合の解が得られた。

次は偶数次の高次の場合を考えていく。

問題 10

2 次の場合の解から高次の偶数次の解が無いか調べよう。 前問の解を見通しが良いように、 $$\begin{equation} X^2 + Y^2 = Z^2 \end{equation}$$ とおこう。ここで、$X, Y, Z$ は 問題 9 の答え

これら $X, Y, Z$ をそれぞれ偶数乗してその性質を調べ、次の表を埋めよ (できるだけ $2$ 乗の形で表すと見通しが良い)。今後のために $n = 2 m$ とする $m$ を導入する。

問題 11

$\alpha^n = \alpha^{2m}\quad(\alpha = X, Y, Z)$ の周期性より、前問で解がある場合と無い場合の $n$ または $m$ の条件を求めよ。

問題 12

解が求まらなかった場合の $n$ または、$m$ について考えていこう。

やみくもに解を探しても、解が無い可能性があるので、ここで視点を変える。 対角成分の和であるトレース $\mathrm{Tr} [ A ] = \sum_{k = 1}^2 a_{k,k} = a_{1,1} + a_{2,2}$ の性質に着目する。

$X^n + Y^n = Z^n$ が成り立っているとすると、両辺のトレースも等しいはずなので、 $$\begin{equation} \mathrm{Tr} [ X^n + Y^n ] = \mathrm{Tr} [ Z^n ]. \end{equation}$$

左辺について考えるために、任意の行列 $A, B$ について、 $$\begin{equation} \mathrm{Tr} [ A + B ] = \mathrm{Tr} [ A ] + \mathrm{Tr} [ B ] \end{equation}$$ を示せ。 よって、 $$\begin{equation} \mathrm{Tr} [X^n] + \mathrm{Tr} [Y^n] = \mathrm{Tr} [Z^n] \end{equation}$$ が成り立たなければならない。

問題 13

以上をふまえて、$n = 4$ の場合を考えていく。 $4$ 乗は $2$ 乗の $2$ 乗なので、まずは $2$ 乗について考えていく。 $$\begin{equation} \mathrm{Tr} [ A^2 ] = \mathrm{Tr} [ A ]^2 - 2 \mathrm{det} [ A ] \end{equation}$$ を導け。ここで、$2 \times 2$ 行列の行列式 $\mathrm{det} [ A ] = a_{1,1} a_{2,2} - a_{1,2} a_{2,1}$ を用いた。

問題 14

前問の結果を用いて、 $$\begin{equation} \mathrm{Tr} [ A^4 ] = \mathrm{Tr} [ A ]^4 - 4 \mathrm{Tr} [ A ]^2 \mathrm{det} [ A ] + 2 \mathrm{det} [ A ]^2 \end{equation}$$ を導け。

ここで、問題 2 の結果より、$\mathrm{det} [ A ] = \pm 1$ という制限があるので、上の式は、 $$\begin{equation} \mathrm{Tr} [ A^4 ] = \mathrm{Tr} [ A ]^4 \pm 4 \mathrm{Tr} [ A ] + 2 \end{equation}$$ となり、$A$ はこの式を満たさなければならない。

次回以降は、F 式のトレースに関する制限と、上記各行列のトレースに関する制限を同時に満たす行列があるかどうか見ていく。

問題 15

$\mathrm{Tr} [A]$ を偶数と奇数に分けて考えよう。
$\mathrm{Tr} [A]$ が偶数のとき $$\begin{equation} \mathrm{Tr} [A^4] = (8 \text{の倍数}) + 2 \end{equation}$$ となることを示せ。
同様に $\mathrm{Tr} [A]$ が奇数のとき $$\begin{equation} \mathrm{Tr} [A^4] = (8 \text{の倍数}) + 7 \end{equation}$$ となることを示せ。
(ヒント: 奇数の方は、$-4 = -8 + 4 = (8 \text{の倍数}) + 4$ と考える。)

問題 16

元に戻って、 $$\begin{equation} \mathrm{Tr} [X^4] + \mathrm{Tr} [Y^4] = \mathrm{Tr} [Z^4] \end{equation}$$ を満たす $X, Y, Z$ があるか考える。
両辺を $8$ で割って、余りを比べ、解が無いことを説明せよ。
(ヒント: 左辺と右辺が取りうる余りを書き出して比較する。)
以上より、$n = 4$ のとき、F 式に解が無いことが分かった。よって、当然 $n$ が $4$ の倍数のときにも解は無い。

問題 17

問題 11 の答えをおさらいすると、 問題 11 の答え

$n = 4$ のときと同様に考える。まずは、 $$\begin{equation} \mathrm{Tr} [A^3] = \mathrm{Tr} [A]^3 - 3 \mathrm{det} [A] \mathrm{Tr} [A] \end{equation}$$ を導け。
そして、これを用いて、 $$\begin{equation} \mathrm{Tr} [A^6] = \mathrm{Tr} [A]^6 - 6 \mathrm{det} [A] \mathrm{Tr} [A]^4 + 9 \mathrm{det} [A]^2 \mathrm{Tr} [A]^2 - 2 \mathrm{det} [A]^3 \end{equation}$$ を得よ。
よって、$\mathrm{det} [A] = \pm 1$ を考えて、 $$\begin{equation} \mathrm{Tr} [A^6] = \mathrm{Tr} [A]^6 \pm 6 \mathrm{Tr} [A]^4 + 9 \mathrm{Tr} [A]^2 \pm 2 \end{equation}$$ を得よ。

問題 18

$\mathrm{Tr} [A]$ が偶数のとき、 $$\begin{equation} \mathrm{Tr} [A^6] = (4 \text{の倍数}) + 2, \end{equation}$$ および、$\mathrm{Tr} [A]$ が奇数のとき、 $$\begin{equation} \mathrm{Tr} [A^6] = (4 \text{の倍数}) + 1 \end{equation}$$ となることを示せ。

問題 19

よって、元の式について、$n = 6$ のとき、両辺を $4$ で割って余りを比較すると、解が無いことを説明せよ。 これより、$n$ が $6$ の倍数のときには解が無いことが示せ、全ての場合について結論が得られた。

問題 20

全問題を通しての結論をまとめよ。 答え