● ○複素関数入門　数２年

043-A-223

複素変数の正則関数（解析関数ともいう）は、現在の数学の基本をなしている。この講義の目的は、複素関数の基礎理論をマスターしてもらうことである。講義で取り上げる事項は、下の「授業内容」の通りである。

複素関数の基本を理解し、必要な計算が実行できること。
特に、留数定理を応用して定積分の計算ができることが重要である。

1	導入：複素関数論の位置づけ
2	複素数と複素数列
3	ベキ級数
4	複素関数の例　I ：多項式・有理関数・指数関数・対数関数
5	複素関数の例　II :3角関数・その他
6	正則関数　I ：定義と基本性質
7	正則関数　II ：コーシー・リーマン関係式
8	平面の位相に関する復習
9	複素線積分　I ：定義と基本性質
10	複素線積分　II ：具体的な計算例
11	コーシーの積分定理
12	コーシーの積分公式
13	積分公式の応用　I ：テイラー展開
14	積分公式の応用　II ：一致の定理、最大値の原理
15	積分公式の応用　III ：リュービルの定理
16	積分公式の応用　IV ：代数学の基本定理の証明
17	関数の特異点
18	コーシーの積分定理（再説）
19	孤立特異点でのローラン展開
20	有理型関数
21	留数定理
22	留数定理を使った定積分の計算
23	留数定理を使った定積分の計算（続き）
24	その他の留数定理の応用
25	無限積入門
26	解析接続
27	解析接続の実例：ガンマ関数とゼータ関数
28	リーマン面
29	まとめ
30	理解度の確認

受講者の理解度を見ながら講義を進めるので、講義の進展具合は「授業内容」の通りとは限らない。しかし、最終的な講義内容は「授業内容」をカバーする。

講義形式

1年次と2年次1学期に学習した微積分の基本事項を復習しておくこと。

第２学期（学年末試験）：70％（正則関数の性質の理解と留数定理を利用した計算の実行力）

中間テスト：30％（複素数・複素関数に関する理解と計算の実行力）

特定の教科書は定めない。参考にすべき文献は、適宜、授業中に指示する。

「複素解析」「複素関数」などの言葉が入っている教科書（研究書はのぞく）は参考書になりうる。代表的なものは授業時に指示するが、予習のためにあらかじめ知りたい人は質問に来てほしい。

数学科の学生は「複素関数入門演習」と同時に履修すること。数学科生以外の履修者は、あらかじめ相談してほしい（履修制限などに対応するため）。

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