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「熱力学 — 現代的な視点から」への訂正

更新日 2024 年 12 月 16 日

本への訂正や修正です。ご指摘くださったみなさんに感謝します。ほかにもお気づきの点がありましたら、お知らせ下さい。

訂正ではありませんが、補足ページの『三重点における熱力学の操作的構成（付録 E への追加）』もご覧ください。

26 刷（2023 年 9 月 8 日）以前への修正

p25 図の説明の3行目の$(X,X')$を$\{X,X'\}$に。
p33 2~3行目：「たとえば、やかんに入れた熱湯を空気中に置いたからといって、すぐに冷めてしまうわけではない。」→ 「たとえば、熱湯を入れたやかんを寒い部屋に置いても中のお湯がすぐに冷めてしまうわけではない。」
p43 下から 4~5行目：「気体はつねに正の圧力でピストンを押しているから，」→ 「気体はつねにピストンに右向きの力を及ぼしているから，」
p79 図の説明の5行目：$Q_{\rm max}$の中の$T$を$T'$に。
p82, 4行目、6行目、9行目：「を単に」→「の$\alpha$倍を単に」
p142 図中の$(T,N)$を$(T;N)$に。二箇所。
p163 本文の最後の行：「データー」→「データ」
p186 図の説明の最後の文：「長時間入浴していると指の先の皮膚がしわしわになることがあるが、これはわれわれの皮膚が塩分を透過させない半透膜として機能するからである。」→ 「ところで、入浴すると指先の皮膚にしわができるのは皮膚が半透膜だからだという説明があるが、今日では、この現象は生物学的な機能の結果だと考えられているそうである。」
（以前に書いた説明が今では誤りだと考えられていることを知ったので、このように差し替えた。現在の（主流と思われる）考えについては、"Why do fingers get wrinkly after a long bath or swim? A biomedical engineer explains" および "Science gets a grip on wrinkly fingers" を参照。）
p190 (9.58) の下、3行目：「気体の体積に比べて，液体の」→「気体の体積変化と比べて液体の」
p201 の Le Chatelier の原理の導出の部分でまとめて訂正。
- 1 行目：「これを用いて (9.82) を書き直すと」　→　「ここで、$Q'=\lim_{\Delta\xi\to0}\Delta Q/\Delta\xi$ という量を定義すると、(9.82)と(9.83)より」
- (9.84)の右辺：$\dfrac{\Delta Q}{T\Delta\xi}$　→　$\dfrac{Q'}{T}$
- (9.84)の右辺：$+O(\Delta\xi)$ を削除。
- (9.84)の下：「となる。」　→　「が得られる。」
- (9.85)の右辺の条件（二箇所）：$\Delta Q$　→　$Q'$
- (9.85)のすぐ下：「たとえば$\Delta Q>0$とする。温度を」　→　「まず$Q'=\lim_{\Delta\xi\to0}\Delta Q/\Delta\xi>0$としよう。このとき、温度を」
- その二行下：「$\Delta Q<0$ の場合にも」　→　「$Q'<0$ の場合にも」
p286 6.4の解答1行目：「示量性より」→「相加性より」
p286 6.4の解答の数式：$T$での偏微分を$T''$での偏微分に変更（6箇所）。

25 刷（2022 年 11 月 1 日）以前への修正

みつかりませんでした。

24 刷（2022 年 2 月 10 日）以前への修正

p172 9-1 の本文の最初の文「体積・・・・としよう。」の後に以下の文を挿入：
9-5節までは化学反応は生じないとする。

23 刷（2021 年 3 月 10 日）以前への修正

i 「はじめに」の脚注 1：専用の WWW ページ　→　サポート web ページ
i 「はじめに」の脚注 1：http　→　https
i 「はじめに」の脚注 1：公開していく予定である。　→　公開している（「田崎熱力学」で検索すればこのページが上位に出る）。
p11, 脚注 16) 今からみるとあまりいい書き方ではないので以下に差し替える。「統計物理学というのはミクロとマクロを結ぶ営み一般を指す広い言葉である。（ここで主として念頭に置いている）ミクロな力学に基づいて系のマクロな性質を導く試みは統計力学と呼ぶことが多い。」
p118 概要の1行目：第2章　→　第3章

以下は三重点の扱いについての知見が増えたことを反映する一連の修正。

p31 脚注 14 を削除。
p32 脚注 15 の番号を一貫して 14 に変更。
p32 8 行目「$(T;V,N))$ と表される。」の後に（新しい）脚注 15 をつける。内容は以下の通り：
実はこれには例外がある。7-7 節でも述べるように、気体、液体、固体の三相が共存する三重点と呼ばれる特殊な状況では、$T$, $V$, $N$ を指定しても平衡状態は一意に定まらないのだ。その場合には、付録 E で見るように、示量変数 $X$ の取り方を工夫する必要がある。
p141 脚注 24：第1文はそのままで、第2文以下を次に差し替え：
つまり、これまで用いてきた $(T;V,N)$ という記述法では三重点内部の状態を忠実に指定することはできないのだ。この場合には、やや面倒だが、考える示量変数を増やして状態を指定する必要がある。付録 E を見よ。
p158 脚注8を以下に差し替え：
2章の脚注 15、7 章の脚注 24 で触れたように、三重点では $T$, $V$, $N$ を指定しても平衡状態は一意に定まらない。このように $(T;V,N)$ 表示が不十分になるのは三つの相が共存する状況であるのに対し、 $(T,p;N)$ 表示は二つの相が共存する状況で不十分になるのである。より詳しくは付録 E を見よ。
付録 E：p254 の二つの段落、p255 の最初の段落をこの pdf ファイルのように修正。脚注 1 はそのまま。
p255 脚注 2 の番号を一貫して 4 に変更。
p255 図 E.1 の説明の最後の文「本書で用いている温度と・・・がわかる。」を削除。
p256 1 行目：本書　→　本文
p299 索引の「三重点」の項目の 31 を 32 に変更。

22 刷（2020 年 6 月 30 日）以前への修正

p181 脚注 1 行目：3-6 節 → 9-1 節
p280 脚注：URI を https://arxiv.org/abs/cond-mat/9708200 に変更
p296 脚注4を削除
p299 索引項目「逆転温度」：288 → 289

21 刷（2019 年 9 月 30 日）以前への修正

目次 x ページの演習問題解答：「282〜293」を「283〜293」に
p36 脚注：「あまりにも一般になっていいて」→「あまりにも一般になっていて」
p101, 「本書では可逆、不可逆・・・」で始まる段落を以下のように書き換える（訂正というわけではないですね）。
　ここでは、議論を簡潔にするため、可逆性・不可逆性を断熱操作に限って定義した。本書では扱わないが、等温操作の場合には、注目している系とその周囲の外界・環境の状態をすべて元に戻せるときに操作が可逆だという。同じことだが、温度一定の環境を「熱浴」として実現し、注目している系と熱浴を合わせた系全体についての断熱操作の可逆性を考えるといってもいい。付録 C を参照。
p123, (7.1.3): $ O(\Delta V^2)$ 　→　$ O((\Delta V)^2)$
p234, (10.20) の 1 行目： $G[T;H,N]$　→　$G[T,H;N]$
p252, 脚注 6 を以下に置き換える（これも訂正というわけではないですね）。
ただし、(C.4) のように無限に大きな熱浴に出入りする熱が定義できるという立場を取れば、「熱浴から系に Q の熱が流れた」ことによる変化は「系から熱浴に Q の熱が流れた」ことで完全に打ち消されると考えられる。

20 刷（2019 年 2 月 20 日）以前への修正

p292, 10.2 の解答：$c(T,H;N)$　→　$c(T,H)$　（合計2ヶ所）
p293, 10.6 の解答：$m(0,\cdots)$　→　$m(T_{\rm c},\cdots)$　（合計4ヶ所）

19 刷（2017 年 11 月 7 日）以前への修正

みつかりませんでした。

18 刷（2016 年 9 月 20 日）以前への修正

p69, (4.38) のすぐ下：$\Delta V\to0$ のように矢印を普通の矢印に変更。
p106, 下から 6 行目：減少　→　増加
p124, 「Maxwell の関係式」の最初の行： 2回微分可能　→　2回連続微分可能
p180, 下から 2 行目：第三項　→　第四項
p182, (9.29) の最後の行と (9.32) の $T$ の直後のカンマをセミコロンに（合計4箇所）
p183, (9.33) 2 行目と (9.34) の $T$ の直後のカンマをセミコロンに（合計2箇所）
p194, 8 行目：物理量　→　物質量
p220, 演習問題 9.1 の 1 行目：$N$ 成分系　→　$m$ 成分系
p221, (9.133) 2, 3 行目の $T$ の直後のカンマをセミコロンに（合計2箇所）
p227, 図10.3 の説明の 3 行目：$M$ の値　→　$m$ の値
p259, (F.9) のすぐ上の行：変数 $T$ と $p$ について　→　変数 $S$ と $V$ について
p265, 定理 G.9 の直前のかっこの中身を以下のように修正：
（証明は1変数の場合とは違って簡単ではない。）
付記：この記述は勘違いでした。「簡単ではない」証明は拙著『統計力学 II』の付録にあります。
p291, 問題 9.3 の解答： $T$ の直後のカンマをセミコロンに（合計4箇所）

17 刷（2015 年 9 月 20 日）以前への修正

p128, (7.31) 右辺 min の中：$\bigl\{F[T;V_1,N_1]+F[T;V_2,N_2]\bigr\}$
波括弧を付けた。もとの書き方でも意味は通じるが、このほうが品がいい。
p129, (7.32) 右辺 min の中：$\bigl\{F[T;V_1,N_1]+F[T;V_2,N_2]\bigr\}$
上と同じ。
p.166 下から６行目： G(T,p;N)　→　G[T,p;N]
p.169 問8.8 上から3行目：　$(T';V';N)$　→　$(T';V',N)$
二つ目のセミコロンをカンマに。
p.176 (9.12)の最後の項：$w_i(T,\frac{V}{N_1})$　→　$w_i(T;\frac{V}{N_1})$
カンマをセミコロンに。
これはミスではありませんが、 5-4 節での証明が圧倒的に改良され、付録 A は不必要になりました。補足ページの「Carnot の定理の証明（5-4 節）の改良について」をご覧ください。

16 刷（2014 年 9 月 25 日）以前への修正

p7 図 1.6 の説明 7 行目：　台がこれ以上は下がらない　→　皿がこれよりは下がらない　（台ではなく皿でした！）
p7 図 1.6 の説明 13 行目：　台がこれ以上は上がらない　→　皿がこれよりは上がらない
p69 (4.37)：$-U(T+\Delta T,V+\Delta V,N)$　→　$-U(T+\Delta T;V+\Delta V,N)$（カンマではなくセミコロン）
p85 図 5.6 の説明の最後の行： Otto 機関　→　Otto サイクル
p105 図 6.3 の説明の 5 行目：　自由膨張おいては　→　自由膨張においては
p114, (6.58) の下、2行目：　相加性ついての　→　相加性についての
p162 図 8.4 の説明 1 行目：　与えらた　→　加えられた
p162 図 8.4 の説明 2〜3 行目：　加えれた　→　加えられた
p165 図 8.5, 8.6：　いずれも左側の図に (a), 右側の図に (b) を書き足す。
p165, 最後の行： $V_\mathrm{L}(T,N)\le V\le V_\mathrm{G}(T,N)$　→　 $V_\mathrm{L}(T;N)\le V\le V_\mathrm{G}(T;N)$
p166, 3 行目：　傾き $-p_1$ の曲線　→　傾き $-p_1$ の直線
p173 (9.1) 式右辺： $ F[T,V;0,\ldots$　→　 $ F[T;V,0,\ldots$（セミコロンの位置を修正）
p174, (9.4) の下、2 行目：　微分につても　→　微分についても
p174, (9.5) の下、1 行目：　$\mu_i(T,V;\mathbf{N})$　→　$\mu_i(T;V,\mathbf{N})$
p176, (9.8) の下、1 行目：従うこと確認　→　従うことが確認
p176, (9.9) の 2 行下：微小量 $N_1/N_2$　→　微小量 $N_2/N_1$
p176, (9.11) の下、3 行目：純粋な物質 $m$ が　→　純粋な物質 $i$ が
p177, (9.13) 右辺：　$-RT\,\log\cdots$　→　$-N_iRT\,\log\cdots$
p182 (9.31) 左辺の $F_i^\mathrm{(id)}$ の引数：$N_1$　→　$N_i$
p194 「化学反応の記述と扱い」の 1 行目：　元素記号　→　化学式
p195, 11 行目：　与えらた環境　→　与えられた環境
p195 脚注 27 最後の行：　あてはまるだろいうという　→　あてはまるだろうという
p243, (A.5) 左辺：$Q_{\rm max}(T;(X_1,\alpha Y_0)\ \to\ (T;X_{1-\eta},\alpha Y_\eta))$　→　$Q_{\rm max}(T;(X_1,\alpha Y_0)\ \to\ (X_{1-\eta},\alpha Y_\eta))$　（二つ目の $T$ が余分だった）
p252 6 行目：　可逆がどうか　→　可逆かどうか　（「か」に余分な濁点）
p256, 5 行目：横軸を $V$ 縦軸を $U$　→　横軸を $V$，縦軸を $U$　（カンマをいれる）
p261 図 G.1 の説明 3 行目： $f(x)$ つねに　→　 $f(x)$ がつねに
p269, 2 行目：　$x_2=x_0$ としして　→　$x_2=x_0$ として
p270, (H.2) の下、2 行目：　最小値を $y_0^*$ をさがす　→　最小値 $y_0^*$ をさがす
p273, 最後の行：　「つまり，」のあとにある謎の記号を削除。
p277, 3 行目：(b) グラフから　→　(b) のグラフから
p285, 問題 5.4 の解答：独立した式のあとを以下のように変更（以前に計算間違いを修正したのだが、それにあわせて以下をなおすべきだと気付かなかったようだ。申し訳ありません）
となる。$\mu$ が小さいときには $\epsilon\simeq\mu/(c+1)$ であり、効率は極めて悪い。また $T_{\rm H}$ が $T_{\rm L}$ に比べてずっと大きいときには $\epsilon\simeq\mu(1+\mu)^{-1}(c+1)^{-1}$ となる。

15 刷（2013 年 9 月 25 日）以前への修正

p5　下から 4 行目：図 1.5 ように　→　図 1.5 のように
p127　1 行目：varitational　→　variational
p133　(7.46) のすぐ下「なることがわかる。」の続き（間違いではないが、わかりにくいので）：(7.45) で $\lambda\to0$ とすれば，$f(v,n)\ge f(0,0)$ が得られる．
p143　本文最終行：等しいことがわかる　→　に等しいことがわかる
p276　本文下から 7 行目：変数　→　変換
p276　本文下から 7 行目：$f^*(\alpha)=(\alpha-1)\log\alpha$　→　$f^*(\alpha)=\alpha(\log\alpha-1)$

14 刷（2013 年 2 月 25 日）以前への修正

ここでは新たな修正なし

13 刷（2011 年 12 月 20 日）以前への修正

p136 本文の一番下の行：流体が液体と固体　→　流体が液体と気体
p257 本文の下から 3 行目：平衡状態をを表す　→　平衡状態を表す　（こんなのが 10 年以上残っていたのか・・・）
p284 問題 5.1 の解答の 3 行目：等熱壁　→　透熱壁

12 刷（2010 年 9 月 21 日）以前への修正

p27 脚注 4, 高橋秀俊『物理学講義：物理学汎論』（丸善）は絶版だが、2011 年 10 月にちくま学芸文庫から『高橋秀俊の物理学講義：物理学汎論』として復刊された（ごく短い解説を皆さんご存知の人が書いています）。
p181 (9.26) の二行目：$(\log N_i+1)-(\log N+1)$　に修正
p216 (9.118) の二行上：「$G^{(3)}$を求めよう」→「$G^{(2)}$を求めよう」
p235 (10.26) の右辺の下側：$c_0(T)+\frac{A^2}{2B},$　→　$c_0(T)+\frac{A^2}{2B}T,$
p280, 参考文献 [8]：Intorduction → Introduction （なんと、10 年以上誰も気づかなかった！）

11 刷以前への修正

p 15 脚注 28 の最後の括弧の中を以下に差し替え（誤りが書いてあったわけではないが、元の文はいささかワインバーグに対して公平でないというご指摘をいただいたので）：脚注 19 で挙げた本での熱力学の位置づけは、現時点で統計物理学から熱力学が完全に導けているという（決して珍しくない）誤解に基づいているように思われる。
p20 (1.7) の 2 行上：まだるこっしいが　→　まだるっこしいが
p69 (4.40) のすぐ上：微分方程式 (4.39) は変数分離型なので、
p 72 の脚注5) の 7 行目：を行なことが　→　を行なうことが
p 87 の 10 行目： (5.40)ように　→　(5.40)のように
p121 (7.8)の1行上： (2つ目の) F[T;N]　→　F[T;V,N]
以下は間違いではないが、微分形式の位置づけについてのトーンを少し変える。
- p 122 (7.12) のすぐ上：ひとまとめにして、微分形式（または全微分）という数学のことばで、
- p122 (7.12) の二つ下、「実のところ」で始まる段落を以下で置き換え：
  熱力学では微分形式を本格的に使う必要はないのだが9)、完全な熱力学関数の微分を整理（暗記）したり、ルジャンドル変換の計算を行なう際には（8-2 節を参照）、この書き方はきわめて便利だ。本書では、そのような「便利な書き方」という位置づけで微分形式を用いることにする。
- さらに、そのすぐ下の段落の書き出しを書き換え：
  以下では、(7.12) の意味を・・
p 133 (7.46)の最後： u (2箇所) → n
p 139 の 11 行目：図7.5の左図　→　図7.5の一番上の図
以下の一連の訂正は一般的な状況での変分原理に関するものです。厳密に考えると、今の書き方では仮定が足りないことを（若い読者のご指摘により）認識したので、ともかく最低限の修正を試みます。
- p 148, (7.67) のすぐ上の文：ここで、ピストンが自由に動けるようになると、θは自発的に変化して最終的にはピストンに働く力がゼロになるようなあるθ* に落ち着くとする。このθ* は変分原理
  (7.67) の min を local min に変更。
  (7.67) のすぐ下：・・・から示せ（local min は極小）。
  （なお、対応する解答（p 287）は変更なし。）
- p 149, 問題 7.7 の 2 行目から：系の条件を変更し、X が自由に動けるようにすると、X は自発的に変化し最終的に平衡での値 X*(T;Y) に落ち着くとする。この値が、
- p 153, 2 行目：・・・環境にある。ピストンは自発的に移動し最終的には力のバランスから平衡の位置に落ち着くと考えてよい。系が地上にあれば、おもりは mg の力でピストンを押すので、平衡状態での流体の圧力は p = mg/A となる1)。
p 146, 本文の下から 3 行目：冒頭の「極めて」をとる。
p 151, 問題 7.9：まったくお恥ずかしい限りですが、この問題は間違っておりました。申し訳ありません。
ここでは、aq の操作のところで、（純粋に気体あるいは液体であっても）共存状態を保ったまま変化がおきると仮定しているが、これは必ずしも正しくない。もちろん、こう仮定して計算すれば正しく Clapeyron の関係が出るわけだが、仮定が一般に成り立たないなら物理的に意味がない。実際には、上の（一般に成り立たない）仮定を用いなくても Clapeyron の関係は導出できる。新しいバージョンをこちらのファイルに用意した。（ちなみに、これがおかしいのではないかということご指摘をかなり以前に筑波大の吉田さんからいただいていた。ピントをあわせる余裕がなくて今日にいたってしまったことについては、言い訳のしようもない。訂正が終わってから山本義隆「熱学思想の史的展開」を見たところ私が元ネタにしたクラウジウスの仕事（文庫版では 3 巻の p 64）では正しいサイクルが書いてある。どこかで勘違いして、変な問題にしてしまったようだ。重ね重ねお恥ずかしい限りである）
p 279 文献 [1]：　熱学思想の史的展開 --- 熱とエントロピー（全 3 巻）（ちくま学芸文庫 2008 年、2009 年）

10 刷以前への修正

p60 下から 2 行目
(T;Y) と (T';Y') を結ぶ矢印の上に a をつける
p116 問題 6.2 の 1 行目
積分表　→　積分表示
p144 脚注の一番最後の行
とう意味で　→　という意味で
p 146 脚注の 3 行目
もっとらしい　→　もっともらしい
p149 問題 7.7
（７-５節）　→　（７-４節）
p 166 の 11 行目
とうい　→　という
p167 の (8.29) 式の 2 行目
G の括弧が () になっているのを [] に修正（2カ所）
p177 (9.13) の右辺の最初の係数
-RT　→　-N_i RT（N_i は N に下付の i の添え字をつけたもの）
p 208 (9.99) の次の行
「それぞれ」の「そ」の一部が欠けている
p216 (9.118) の 2 行上
G^{(3)}　→　G^{(2)}（^{..} は上付きの添え字）
p228 の (10.12) 式
g[T,0;N]　→　g(T,0)
p231 の図 10.5 の説明の 5 行目
(b) T > T_c は (b) T < T_c の誤り
p235 の (10.25) 式
G[T;0,N]　→　G[T,0;N]
p237 の (10.31) 式
G[T_c,0,N]　→　G[T_c,0;N]
p240 の (10.44) 式
G[T,H,N]　→　G[T,H;N]
p240 の (10.45) 式
G[T,H,N]　→　G[T,H;N]
p281 の文献[16]
体系　→　大系
p286 の問題 6.5 の解答の下から 3 行目
冒頭に C_0 NR log とあるが、NR は不要で、C_0 log が正しい。
p287 の問題 7.5 の解答
「Taylor 展開して」以下の式の最終行。+O(t^3) の前に t^2 が抜けている。
p292 の問題 10.3 の解答、「また」以下の式の二つ目
左辺　m(T,H;N)　→　m(T,H)
右辺　分子の冒頭に N_A を追加
p293 の問題 10.5 の解答
本文と式に四カ所 T-T_c が登場するがすべて T_c-T の誤り
p293 の問題 10.6 の解答
1 行目　(10.31)　→　(10.32)
3 行目の最後の式を　\alpha + \beta(\delta + 1)　（最後のプラスがマイナスになっている）

9 刷以前への修正

p85 図 5.6
(a), (c) の縦線を点線に（p 97 のように）
p115, L4
等熱壁　→　透熱壁
p198　下から２行目
\tilde{N} = N + \nu \tilde{\xi}

6 刷以前への修正

p 196 脚注 29) 一つ目の文章の最後：体積であり、そのときの系の圧力は$p$に等しい。

5 刷以前への修正

p 112, 下から 4 行目：第 5 節　→　第 5 章

4 刷以前への修正

以下の部分で、(T, X) のように仕切りがカンマになっているのを (T; X) とセミコロンに修正：
p 58: (4.6) の二行上の冒頭、(4.6) の真ん中、(4.7) の真ん中
p60: (4.9) の四カ所、(4.10) の六ヶ所、(4.11) の二行下の「(4.10) で」以降に二カ所、その次の行の冒頭

２刷以前への修正

p.97m 図 6.1
ふたつのグラフの中で、i' に相当する操作の線を、太い実線から、太い破線に変更した。この部分は、操作の途中でなにがおこっているかわからないから、こうした方が適切であろう。

１刷への修正

p.17　註 32
euqations → equations
p.47, L6
enegy → energy
p. 56 (4.1) の上
opearation → operation
p. 66, L11-12
得られたしても → 得られたとしても
p. 86 (5.37) の三行上
NR(TH-T'H) → cNR(TH-T'H)
その一行下
NR(TL-T'L) → cNR(TL-T'L)
p.139, 7-7 の二行目
関係の関係（なんのこっちゃ？） → 関係
p.143, (7.55) の二行下
図 7.8 → 図 7.9
p. 176, L9
solutioins → solutions
p.210, 註 54
W と a は下付添え字
P.223, L6
示量性と示強性をもち（これでは、すごすぎ） → 示量性と相加性をもち
P.230, (10.15) のすぐ下
enrgy → energy
P.252, D の６行目
機機関 → 熱機関
P.285, 5.4 の解答
L2,4; cNR(TH-TL)
L6; mu=mg(Apo)-1
式最右辺分子 (1+mu)-1TH-TL
式最右辺分母 (c+1)TH - (c+1+mu) TL

言うまでもないことかもしれませんが、私の書いたページの内容に興味を持って下さった方がご自分のページから私のページのいずれかへリンクして下さる際には、特に私にお断りいただく必要はありません。

田崎晴明
学習院大学理学部物理学教室
田崎晴明ホームページ

hal.tasaki@gakushuin.ac.jp