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ストークスの定理について

周回線積分と麺積分をつなぎ合わせるストークスの定理について説明する。

目次

概要

ストークスの定理は以下の式で表される。 $$\begin{equation} \oint_C \vec{A} (\vec{r}) \cdot d\vec{r} = \iint_S \left ( \vec{\nabla} \times \vec{A} (\vec{r}) \right ) \cdot \vec{n} (\vec{r}) ~d^2 S \end{equation}$$

つまり、ベクトル場 $\vec{a} (\vec{r})$ が与えられたとき、閉経路 (閉じた経路: スタートとゴールが同じで途中で交わらない経路) に沿って行った線積分 (左辺) は、ベクトル場 $\vec{A} (\vec{r})$ のローテーション (回転) が閉経路 $C$ の作る面 $S$ を垂直に貫く成分の和 (右辺) に等しい、ということを言っている。

簡単な説明

はじめに、直感的な説明を行う。

まずは、閉経路 $C$ の線積分はそれを小さく分割した閉経路 $c_1, c_2, \dots$ の線積分の和に等しいことに気づくだろう。 図のように隣り合う $c_i, c_{i+1}$ の線積分の重なる部分の寄与は打ち消しあうからである。

つまり、線積分は以下のように分解できる。 $$\begin{align} \oint_C \vec{A} (\vec{r}) \cdot d\vec{r} & = \oint_{c_1} \vec{A} (\vec{r}) \cdot d\vec{r} + \oint_{c_2} \vec{A} (\vec{r}) \cdot d\vec{r} + \dots \\ & = \sum_n \oint_{c_n} \vec{A} (\vec{r}) \cdot d\vec{r} \end{align}$$

つぎに、各経路 $c_i$ を十分小さくとって、一辺 $\epsilon ~(\ll 1)$ の正方形にする。

すると、この線積分は $\vec{A} (\vec{r})$ の経路に対する回転具合を表すのではないだろうか。ベクトル場の局所的な回転具合 (回転の勢い) を表す計算としては、ローテーションを習っている。面に対する回転なので、面の単位法線ベクトルを $\vec{n} (\vec{r})$ として $\left ( \vec{\nabla} \times \vec{A} (\vec{r}) \right ) \cdot \vec{n} (\vec{r})$ を上の線積分の代わりに用いて、 $$\begin{equation} \sum_n \oint_{c_n} \vec{A} (\vec{r}) \cdot d \vec{r} \simeq \sum_n \left ( \vec{\nabla} \times \vec{A} (\vec{r}) \right ) \cdot \vec{n} (\vec{r}) \epsilon^2 \end{equation}$$ としてはどうだろうか。ここで、経路 $c_n$ は面積 $\epsilon^2$ を持つので、ローテーションが面積 0 の極限であることを考慮して面積倍した。

これをさらに $\epsilon \rightarrow 0$ の極限を取って、総和の記号を積分に直せば、 $$\begin{equation} \sum_n \left ( \vec{\nabla} \times \vec{A} (\vec{r}) \right ) \cdot \vec{n} (\vec{r}) \epsilon^2 \simeq \iint_S \left ( \vec{\nabla} \times \vec{A} (\vec{r}) \right ) \cdot \vec{n} (\vec{r}) ~d^2 S \end{equation}$$ が得られる。